数理逻辑：蕴含词（The Conditional Connectives）

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数理逻辑：蕴含词（The Conditional Connectives）

今天上泛函分析的时候，有同学问老师这样一个问题：

教科书上对于闭集的定义是： $E$ 是闭集 $\iff \forall \{x_n\} \subset E,$ 若 $x_n \to x_0,$ 则 $x_0 \in E$ 。现在有一个集合 $S$ ，因为它没有收敛子列，所以这个集合 $S$ 是闭集。为什么？

这个问题确实很难解释清楚。难怪我们老师说到后面，就说：“就这么记吧！”其实这句话，倒是理解这个问题的关键。逻辑学家就是这么规定的，如同我们学的英语语法是由语法学家规定的一样。

假设P是一个命题，Q也是一个命题。P→Q则是一个复合命题，意为“如果P，那么Q”。我现在设 $P:x_n \to x_0,\quad Q:x_0 \in E$ 。当复合命题P→Q为真的时候，E是闭集。现在的问题在于：当P为假的时候，复合命题P→Q是真还是假？

先考虑一个具体的命题：“如果 $x>2$ ，那么 $x^2>4$ ”。 $P:x>2,\quad Q:x^2>4$ 。对于任意的x，P可能为真也可能为假。但是P→Q这个命题却一直为真。取 $x=3>2, x^2=9>4$ ，P为真，Q为真，P→Q为真。取 $x=1<2, x^2=1<4$ ，P为假，Q为假，P→Q为真。取 $x=-5<2, x^2=25>4$ ，P为假，Q为真，P→Q为真。由于这个命题一直为真，所以不可能出现P真Q假的情况。

我们再考虑一个比较生活化的例子。开学的时候，老师说：“如果你期末考了85分以上，我就给你‘优’。”在这里P是“期末考了85分以上”，Q是“成绩是‘优’”。期末考试你考了90分，最后你拿了优；你心想：老师这句话没有说错啊。如果你考了75分，拿了良；你并不能抱怨老师对你说了谎。如果你考了84分，最后拿了优；你也不能说老师打破了他立的规矩。因为老师的话，并没有说明当你期末成绩低于85分时，你会拿到什么等第。只有当你考了85分以上，却没有拿到优；你才可以说老师在骗人。

P为假的时候，我们不能证明P→Q为假，也不能证明P→Q为真。比方说，我要看看我家的灯是不是好的。我要先按一下开关，灯亮了，灯是好的。在我没有按开关的时候，灯是不是好的，我不知道。如果这样的话，就被逼进死胡同了。怎么办呢？逻辑学家登场了。逻辑学家在这个问题上的立场是：除非证明我有罪，否则我就是无辜的。也就是说，P→Q为真，除非你能证明P→Q为假（P为真，但是Q为假。其实就是我们经常说的“举反例”）

总结一下，真值表如下：（T为真，F为假。）

P	Q	P→Q
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

例：（1）如果大象可以飞，你就是男的。

（2）如果大象可以飞，你就是女的。

这两句话都是对的。因为前提(P)：“大象可以飞”是假的。

最后一点，P→Q与((not P) or Q)是等价的。（个人不太喜欢数理逻辑中的符号，我就用英文代替了。）这个通过比较两个真值表就可以得到了。举个例子：老师开学说：“你要么不无视你的作业，要么你就被挂了。”这句话的意思就是：如果你无视你的作业，那么你就被挂了。”

Reference:

http://www.math.niu.edu/~richard/Math101/implies.pdf

How to Prove it: A Structured Approach. Daniel J.Velleman

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